威廉向克斯的憾事與圓周率中的統(tǒng)計(jì)

圓周率π是圓周長與直徑的比值。公元前三世紀(jì)，古希臘著名學(xué)者阿基米德計(jì)算出π≈3.14。公元263年前后，我國魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽，利用割圓術(shù)計(jì)算了圓內(nèi)接正3072 邊形的面積，求得π≈3927/1250=3.1416。又過了約兩百年，我國南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之確定了π的真值在3.1415926 與3.1415927之間。祖沖之之后的第一個(gè)重大突破，是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西，他計(jì)算了圓內(nèi)接和外切正3×228＝805306368 邊形的周長后得出：π≈3.1415926535897932

公元1610年，德國人魯?shù)婪颍?540～1610）把π算到了小數(shù)點(diǎn)后35位。

往后，記錄一個(gè)接一個(gè)地被刷新：1706年，π的計(jì)算越過了百位大關(guān)，1842年達(dá)到了200位，1854年突破了400位，1872年，英國學(xué)者威廉 向克斯（1812～1882）花費(fèi)了整整二十個(gè)年頭把π的值算到了小數(shù)點(diǎn)后707位。向克斯死后，人們紀(jì)念他，就在他的墓碑上刻下了他一生心血的結(jié)晶：π的707位小數(shù)。此后半個(gè)多世紀(jì)，人們對威廉 向克斯的計(jì)算結(jié)果深信不疑，以至于在1937 年巴黎博覽會(huì)發(fā)現(xiàn)館的天井里，依然顯赫地刻著向克斯的π值。

又過了若干年，數(shù)學(xué)家法格遜對向克斯的計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生懷疑，他認(rèn)為在π的數(shù)值式中，各數(shù)碼出現(xiàn)的概率都應(yīng)當(dāng)?shù)扔?/10。于是，他統(tǒng)計(jì)了威廉·向克斯π的頭608 位小數(shù)中，各數(shù)碼出現(xiàn)的情況：

法格遜覺得：向克斯計(jì)算的π，數(shù)碼出現(xiàn)的次數(shù)不是基本相同，可能是計(jì)算有錯(cuò)。于是，他用當(dāng)時(shí)最先進(jìn)的計(jì)算工具，從1944年5月到1945年5月，整整算了一年，終于發(fā)現(xiàn)：向克斯π的707位小數(shù)中，只有前527 位是正確的，由于當(dāng)初向克斯沒有發(fā)現(xiàn)，使他白白浪費(fèi)了許多年的光陰，這真是終生的憾事。法格遜的成就，基于他的一個(gè)猜想，即在π值的數(shù)值式中各數(shù)碼出現(xiàn)的概率相等。盡管這個(gè)猜想曾導(dǎo)致法格遜發(fā)現(xiàn)并糾正了向克斯的錯(cuò)誤，然而猜想畢竟不等于事實(shí)！法格遜想驗(yàn)證它，卻無能為力，人們想驗(yàn)證它，又苦于已知π的位數(shù)太少。

但是情況很快有了轉(zhuǎn)機(jī)，隨著電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和應(yīng)用，計(jì)算π的值有了飛速進(jìn)展。1961年，美國學(xué)者丹尼爾和倫奇把π算到了小數(shù)點(diǎn)后100265位，20年后，日本人又把記錄推過了200000 位大關(guān)。于是，人們的心中又重新燃起了驗(yàn)證法格遜猜想的希望之火。1973年，法國學(xué)者讓蓋尤與芳旦娜小姐合作，對π的前一百萬位小數(shù)中各數(shù)碼出現(xiàn)的頻率，進(jìn)行了有趣的統(tǒng)計(jì)，得出以下結(jié)果。

從上表看出，盡管各數(shù)字出現(xiàn)也有某種起伏，但基本上平分秋色。看來，法格遜的想法應(yīng)當(dāng)是正確的！